Что такое математика — высшее проявление объективной реальности или продукт человеческого интеллекта? Дискуссия об этом ведется еще со времен Платона, и окончательного ответа на вопрос нет до сих пор. Анна Свердлик в книге «Как эмоции влияют на абстрактное мышление и почему математика невероятно точна» собирает аргументы обеих сторон и пробует понять природу математики с точки зрения нейронауки. В рамках спецпроекта с премией «Просветитель» T&P публикуют отрывки о том, почему в науке важны эмоции, как нас ограничивает абстрактное мышление и зачем прислушиваться к интуиции.

Анна Свердлик

Врач-психиатр, cпециалист в области черепно-мозговых травм и нейрокогнитивной патологии, преподаватель клинической психиатрии медицинского факультета Тель-Авивского университета, автор ряда печатных работ в области нейропсихиатрии и нейропсихологии, член Международного нейропсихоаналитического общества.

О природе собирательных образов

Мультимодальный образ — образ, формирующийся из составляющих, относящихся к разным модальностям.

Создание единого мультимодального образа — это лишь одна из первых ступеней обобщения, один из первых шагов на пути к абстрактному мышлению. Впоследствии разрозненные мультимодальные образы могут объединяться или разделяться по группам, число групп и их порядок неуклонно повышаются. Так возникают собирательные образы, сначала невербальные: все кошки сливаются в одну абстрактную кошку, а впоследствии возникает речь: абстрактная кошка обретает название. Образы и слова формируются в явления, явления — в идеи, идеи — в идеологии. Мир становится все более многомерным, мышление — все более абстрактным. Так зарождается и развивается математика, которая по праву считается его апофеозом.

Но у процессов обобщения есть серьезный недостаток: они хоть и позволяют нам видеть более полную картину мира, но существенно снижают ее резолюцию. В результате частное подменяется общим, особое — среднестатистическим. Всякая индивидуальность — опыта ли, природного явления, личности — подвержена тенденции, зачастую пагубной, быть втиснутой в прокрустово ложе рамок, категорий, схем. Эта когнитивная инерция — следствие ограниченности наших нейронных ресурсов. Она виновата в косности, узости, национализме, вообще в любой предвзятости, в том числе и научной. В известной степени это явление эволюционно вредное. Почему же, несмотря на это, категоризация и абстрактизация буквально владеют умами. Причина кроется в том же положенном нам природой лимите на нервные клетки и их функции, особенно на объемы рабочей памяти.

Рабочая память имеет очень малый объем. Чтобы протиснуть в нее как можно больше данных, мозг постоянно абстрагирует информацию, то есть спрессовывает ее вновь и вновь — в слова, ноты, карты, математические символы. Последние, очевидно, наиболее емкие и абстрактные из всех возможных.

Возьмем для примера ту же кошку. Ее образ, даже собирательный, отвлеченный, разбросан по самым разным отделам коры. Форма ее тела, расцветка, запах, кошачья грация, весь спектр чувств, который она вызывает в вас, когда, свернувшись клубком, дремлет у вас на коленях — этот список можно продолжать еще долго — все это вовлекает множественные участки коры, которые, возбуждаясь, требуют больших нейронных и энергозатрат. Поэтому думать о кошках, активизируя их собирательный мультомодальный образ, очень дорого с нейроэкономической точки зрения. А главное, такой объемный образ не поместится целиком в рабочей памяти. А если даже и поместится, то вытеснит оттуда всю остальную информацию, и рабочей памяти нечем будет жонглировать — обдумывание как таковое попросту не состоится. Чтобы обойти эту проблему, мозгу приходится спрессовывать информацию вновь и вновь. Резким скачком в этом процессе и, соответственно, в процессе нашего интеллектуального развития стало возникновение языка. Язык — это очень удачный с нейроэкономической точки зрения инструмент, выходящий далеко за рамки наших коммуникативных потребностей.

Об интуиции

«Я интуитивно почувствовал…», «Интуиция подсказала мне…», «…и я почему-то решила, что надо поступить именно так». Сколько раз мы произносим подобные фразы, сколько раз слышим их от других. Особенно часто мы сталкиваемся с примерами необъяснимых, но абсолютно правильных действий в детективных сериалах: следователь каким-то образом из массы улик извлекает ключевую, из массы версий — единственно верную, а что иногда заходит в тупик, так это только чтоб пощекотать наше зрительское самолюбие («Я-то сразу догадался, что это он ее убил»). Но если отвлечься от некоторых художественных перегибов, нельзя отрицать той огромной роли, которую играет интуиция в жизни каждого из нас. Да никто, собственно, эту роль и не отрицает.

Неотъемлемое эмоциональное условие научного поиска — это вера. Та самая, которую обычно объявляют антитезой науки и предают анафеме со всех университетских амвонов

Разделение познания, мышления на логическое и интуитивное — это еще одна дихотомизация, древняя, как мир. При этом интуиция издавна считается одним из самых загадочных психических явлений, тогда как логика воспринимается большинством как нечто само собой разумеющееся. Хотя механизмы логического мышления уж никак не могут быть проще механизмов мышления эмоционального, поскольку на них базируются.

Впрочем, это совсем не странно, если вспомнить, что люди склонны игнорировать либо воспринимать с определенной долей недоумения любой феномен, слишком тесно связанный с эмоциями. Наше сознание доверительно, да что там доверительно — попросту некритично относится к доступным ему вещам и, наоборот, чересчур подозрительно ко всему, что от него скрыто. Звенья логических цепей, которые выстраивает мозг, способы, которыми он увязывает их в алгоритмы, все у нас как на ладони — или, по крайней мере, так нам кажется. Мы обычно не спрашиваем себя, откуда они берутся, почему именно они, так ли неизбежно они следуют друг из друга… Нам кажется, что это «очевидно», и мы, выйдя из юного возраста, уже не замечаем, что это не ответ, а просто отговорка; что наша логика пускается на те же хитрости и уловки, к которым прибегали когда-то наши родители, чтобы избавиться от беспрестанных детских вопросов и обрести хоть минуту покоя. «Вырастешь — поймешь», — то и дело твердили нам они. Мы выросли, ничего не поняли, но прогресс налицо: мы избавились от чрезмерного любопытства и научились делать вид, что нам и так все ясно.

Интеллект, ведомый страстью

В книге «Личностное знание» Майкл Полани (английский ученый Майкл Полани. — Прим. ред.), один из очень немногих в свое время, да и в наше тоже, последовательно отстаивает интеллектуальную ценность эмоций. «Хорошо известно, — пишет Полани, — что в процессе открытия вспыхивают… эмоции, но считается, что на результат открытия они не влияют… Мне хочется показать, что страстность в науке — это не просто субъективно-психологический побочный эффект, но логически неотъемлемый элемент науки». По определению Полани, настоящее открытие — это всегда «преодоление логического разрыва», неизбежно требующее применения неалгоритмических средств, а любой результат, который может быть получен путем выполнения известных алгоритмических операций, настоящим открытием не является. На основании подробного анализа, в частности, анализа процессов математического открытия, Полани, руководствуясь этим определением, указывает сразу на несколько причин, ставящих наши высшие интеллектуальные способности в зависимость от эмоций.

Прежде всего, желание: самое примитивное любопытство или, как определяет его Панксепп (нейробиолог Яак Панксепп. — Прим. ред.), изначально присущее всем нам стремление к поиску — первейшее и неотъемлемое условие любой, в том числе и интеллектуальной, деятельности. В нашем случае — стремление решить задачу. К нему могут примешиваться и, как правило, примешиваются и более сложные эмоции практического толка: желание повысить самооценку, доказать другим, на что ты способен, продвинуться в учебе или по службе и т. п.

© Harry Campbell

© Harry Campbell

Такого рода соображения, разумеется, побуждают к действию всех нас, а не только математических гениев. Но есть и эмоции высшего порядка, довольно специфичные для людей науки: чувство интеллектуальной красоты, вера в нее, стремление к ней. И чем абстрактнее предмет, чем меньше в нем сиюминутного практического смысла, тем больший они должны иметь вес. Поэтому чувство прекрасного, я просто убеждена в этом, является главной движущей силой математической мысли, по крайней мере, в лучших ее проявлениях. Это не значит, конечно, что математики поголовно лишены карьерных устремлений, а лишь что эти устремления не играют в их профессии первостепенной роли.

Интеллектуальная красота, ее великая созидательная сила — это отдельная, давно и часто обсуждаемая тема. Ей посвящено множество книг, ее подтверждает бессчетное количество примеров в истории науки — точнее, в истории математики и теоретической физики. Достаточно снова вспомнить Пифагора, утверждавшего, что Вселенная — это гармоничное (то есть красивое) сочетание чисел, или Дирака, предсказавшего открытие антивещества на основании абсурдных, на первый взгляд, решений выдуманного им же уравнения — а все только потому, что на его, Дирака, взгляд, «красота уравнений важнее, чем их соответствие экспериментальным данным». И что есть мир платонических идей, как не воплощение этой красоты? Можно сколько угодно иронизировать над ним, видеть в нем лишь продукт древнего мифотворчества, философский атавизм — но вот Дирак побывал там и вернулся к нам с уликами, в истинности которых трудно усомниться.

Процесс настоящего открытия, открытия, которое невозможно без оригинального, неалгоритмического подхода, часто требует длительного обдумывания, в том числе и подсознательного. Проблема постоянно находится в голове, даже когда сознание, рабочая память заняты другими делами или же спокойно спят. Но мозг будет неустанно работать над ней подсознательно, «в фоновом режиме» лишь при условии, что эта проблема несет в себе постоянный эмоциональный заряд и дает ему продолжительную эмоциональную, то есть энергетическую, подпитку. Поэтому интеллектуальная мотивация, наряду со специфическим характером и особой силой, отличается еще и постоянством, способностью подолгу сохраняться, не угасая, на том же высоком уровне. Ученому необходима научная одержимость — мотивация, которая буквально держит его мозг, удерживает его в состоянии фокуса на определенной задаче, в том числе и подсознательно. Тут уместно даже говорить о зацикленности на проблеме — о том, что в психиатрии называют «идеей фикс», только с легким течением и благоприятным исходом. «Когда ученики в шутку спросили И.П. Павлова, что им делать, чтоб стать «такими же, как он», — рассказывает Полани,— он ответил им вполне серьезно, что они должны, вставая по утрам, иметь перед собой свою проблему, завтракать с ней, с ней же идти в лабораторию, там до и после обеда удерживать ее перед собой, спать ложиться с этой проблемой в уме и сны видеть также о ней». (Полани М. Личностное знание. М.: Прогресс, 1985. C. 155. — Прим. автора)

Еще одно неотъемлемое эмоциональное условие научного поиска — это вера. Та самая, которую обычно объявляют антитезой науки и предают анафеме со всех университетских амвонов. Прежде всего, вера в то, что искомое решение существует объективно.

Интуиция как главное орудие умственного труда

Итак, кроме платонизма и формализма, существуют и иные точки зрения на природу математики. Одна из них, получившая название интуиционизма, утверждает, что прямое, непосредственное восприятие истины, своего рода внутреннее чувство, «узрение», озарение — это и есть тот скрытый от нашего сознания фундамент, на который опирается формальная математическая логика. Внутреннее чувство, поначалу не оформленное в формулы и даже в слова, и есть первейший признак того, что открытие свершилось; логика же необходима, чтобы перепроверить интуитивно возникшие идеи и исключить из них возможные ошибки. Другими словами, интуиция в математике первична, а логика вторична. Нетрудно понять, что интуиция — это примерно то же, что Полани называет «периферическим» знанием, а Пенроуз (английский ученый Роджер Пенроуз. — Прим. T&P) — неалгоритмическим мышлением.

© Harry Campbell

© Harry Campbell

Хотя в своем современном виде интуиционизм оформился как отдельное течение лишь в начале XX века благодаря трудам голландского философа и математика Л. Я.Э. Брауэра, отдельные его черты также возникли в глубокой древности и прослеживаются на протяжении всей человеческой истории. Многие гениальные умы не только признавали колоссальное значение интуиции, но и считали ее главным условием процесса математического творчества, оставляя логику на вторых ролях. Так, повсеместно цитируется высказывание Гаусса: «Решение у меня уже есть, но я пока не знаю, как к нему прийти», или высказывание Паскаля: «У сердца — свои причины, о которых не знает разум», или: «Логика — медленный и мучительный метод, позволяющий тем, кто не знает истины, открывать ее».

Пожалуй, самым ярким примером того, насколько важна интуиция в математике, стала судьба Сринивасы Рамануджана. Рамануджан родился в Южной Индии в 1887 году в бедной и очень религиозной семье, и, хотя его незаурядные математические способности проявились уже в начальной школе, он не имел ни возможности получить какое-либо систематическое образование, ни доступа к профессиональной математической среде, которая бы питала его дарование. Основным источником знаний стали для него два двухтомных руководства, которые он раздобыл с большим трудом и освоил сам — первое по тригонометрии, второе сразу по нескольким разделам математики. Второе руководство содержало около шести тысяч формул и теорем, но практически не содержало их доказательств, и юный Рамануджан, не будучи знаком даже с основами математической логики и правилами вывода, пришел к ним самостоятельно, пользуясь собственным особым методом. В дальнейшем с помощью того же метода, то безуспешно пытаясь получить высшее образование в местном колледже, то скитаясь по Центральной Индии, то работая почтовым клерком за грошовую плату, он открыл множество новых, неизвестных доселе теорем такого уровня, что снискал себе славу математического гения.

Образы и слова формируются в явления, явления — в идеи, идеи — в идеологии. Мир становится все более многомерным, мышление — все более абстрактным. Так зарождается и развивается математика

Так что же это за таинственный метод, позволивший Рамануджану в одиночку, без достойного математического образования, без понимания того, каким вообще должно быть математическое доказательство, достичь таких высот? Как мог он стать «чемпионом игры, правил которой он не знал»? (Это высказывание в отношении Рамануджана приписывают Г.Х. Харди. — Прим. автора) Это было и остается загадкой. Даже известный английский математик Готфрид Харди, «открывший» 27-летнего Рамануджана, привезший его в Англию, добившийся для него места в Кембриджском университете и плодотворно работавший в паре с ним около пяти лет, до тех пор, пока Рамануджан не умер от туберкулеза, не получил от него сколько-нибудь внятного ответа на этот вопрос. Почему? Потому что у Рамануджана его не было.

Индийские биографы Рамануджана, знакомые с ним лично с юных лет, писали, что, по свидетельству самого Рамануджана, математические формулы ему внушала во сне богиня Намаккаль и что он имел обыкновение, проснувшись утром, тут же записывать их, а потом перепроверял. Большая часть продиктованных богиней Намаккаль формул оказывалась правильной — даже если самому Рамануджану не удавалось найти им доказательство, его впоследствии находили другие. В этом, как видно, и состоял весь его секрет. А своему лучшему европейскому другу Харди он говорил, что его методы вывода так необычны, так пугающе новы, что он, Рамануджан, не решается поведать о них даже ему.

Интуиционистские представления о природе математики сильно расходятся с платоническими (по крайней мере, на первый взгляд) и полностью противоречат формалистическим. Если формализм допускает форму без содержания, то интуиционизм, наоборот, допускает содержание без формы. Интуиционизм, собственно, и возник в значительной степени в противовес набиравшему в начале прошлого века силу формализму. Предтечей интуиционистского подхода был гениальный французский математик Анри Пуанкаре, которому, как и многим другим, претила идея неосмысленной математики. Он оставил нам автобиографические заметки о том, какую роль играла интуиция в его собственной научной деятельности:

«…Я покинул Кон, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея безо всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, — идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я ничего не проверил и, едва сев в омнибус, продолжал начатый разговор, но я уже был вполне уверен в правильности сделанного открытия. По возвращении в Кон я на свежую голову и лишь для очистки совести проверил найденный результат».