Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро

Иллюстрация: Максим Чатский

Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше — при помощи функций. Функция — это правило, по которому одному числу (например, x) ставится в соответствие другое (например y). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x², а бывают посложнее вроде y=10*sin(7x2+3x-9). Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.

Еще у функций есть производная. Это — скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x. Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x. А в случае функции y=x² производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.

Экспонентой называется функция y=e^x, где e — хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными.

У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет.

Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x. Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется — налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.

Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример — ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.