Родился в 1941 году в Ярославской области. Окончил Физический факультет МГУ. Вся карьера — от старшего лаборанта до профессора, — прошла в ГАИШ МГУ. Несколько десятков — а, может, и сотня - студентов и аспирантов ГАИШ могут назвать Анатолия Владимировича своим научным руководителем: под его началом они делали свои курсовые, дипломы, диссертации.
На старших курсах университета Анатолий Владимирович сделал несколько работ в области космологии. В то время эта область казалась настолько оторванной от наблюдений и возможности проверить свои результаты, что двумя любимыми направлениями астрономии ныне профессора Засова стали структура и динамика галактик и звездообразование.
Наиболее активно профессор Засов сотрудничает со Специальной астрофизической обсерваторией (САО) РАН и Физическим факультетом Волгоградского государственного университета.
Кандидат физико-математичееких наук (1970), доктор физико-математических наук (1989). Профессор кафедры астрофизики и звездной астрономии Физфака МГУ (1990). Член Ученого совета ГАИШ. Лауреат Государственной премии (2003), премии Астрономического общества (1996), Ломоносовской премии II степени (1996). Член Международного астрономического союза (1977). Член Евроазиатского и Европейского астрономических обществ (1990). Академик МАНВШ (1994). Один из организаторов ежегодных Всероссийских школьных олимпиад по астрономии и космической физике. Член редколлегии журнала «Физика в школе».
Читает студентам 4 курса Астрономического отделения спецкурс «Физика галактик» по проблемам внегалактической астрономии.