Что страшнее — геноцид в Руанде, война в Ираке или теракты 11 сентября, и можно ли вообще измерять катастрофы в цифрах? Профессор математики Джордан Элленберг в своей книге «Как не ошибаться. Сила математического мышления», которая вышла в издательстве «МИФ», объясняет, как работает закон больших чисел и почему некоторые расчеты показывают, что уничтожение племени гереро в Намибии было более кровопролитным, чем все преступления гитлеровской Германии. «Теории и практики» публикуют отрывок.

Насколько серьезен конфликт на Ближнем Востоке? Эксперт по вопросам борьбы с терроризмом Дэниел Баймен из Джорджтаунского университета приводит в Foreign Affairs холодные, безжалостные цифры: «Израильские военные сообщают о том, что с начала второй интифады [2000 год. — Д.Э.] до конца октября 2005 года палестинцы убили 1074 и ранили 7520 израильтян — для такой маленькой страны поразительные данные, пропорциональный эквивалент которых составляет 50 тысяч убитых и 300 тысяч раненых американцев». Такие подсчеты часто используются во время обсуждения ситуации в ближневосточном регионе. В декабре 2001 года Палата представителей Конгресса США заявила о том, что гибель 26 человек во время серии атак в Израиле «пропорционально смерти 1200 американцев». Ньют Гингрич писал в 2006 году: «Помните о том, что, когда Израиль теряет восемь человек, с учетом разницы в численности населения это эквивалентно потере почти 500 американцев». Не желая уступать авторам этих высказываний, Ахмед Мур написал в Los Angeles Times следующее: «Когда во время операции “Литой свинец” в секторе Газа Израиль убил 1400 палестинцев — что пропорционально 300 тысячам американцев, — будущий президент Обама хранил молчание».

Риторика с использованием пропорций не является исключительным правом, закрепленным лишь за Святой землей. Джеральд Каплан писал в 1988 году: «За последние восемь лет погибли, ранены или похищены с обеих сторон противостояния около 45 тысяч никарагуанцев — это эквивалентно 300 тысячам канадцев или 3 миллионам американцев». Министр обороны США в период Вьетнамской войны Роберт Макнамара сказал в 1997 году, что почти 4 миллиона погибших во время войны вьетнамцев «эквивалентны 27 миллионам американцев». Каждый раз, когда в какой-либо небольшой стране погибает много людей, авторы редакционных статей достают свои логарифмические линейки и начинают подсчитывать: сколько этих погибших «укладывается» в мертвых американцах?

Вот как можно получить эти цифры. Погибшие от рук террористов 1074 израильтян составляют 0,015% от общей численности населения Израиля (которая в период с 2000 по 2005 год составляла от 6 до 7 миллионов). Далее все эти эксперты приходят к выводу, что смерть 0,015% американского населения (что составляет около 50 тысяч человек) имела бы в данном случае такой же эффект.

Это линеоцентризм в чистейшей форме. Согласно аргументации с использованием пропорций, эквивалент 1074 израильтян в любой точке земного шара можно найти с помощью такого графика.

Количество израильских жертв — 1074 человек — эквивалентно 7700 испанцев или 223 тысяч китайцев, но всего 300 словенцев и одному или двум тувалуанцам.

Со временем (а может быть, и с самого начала?) такая аргументация начинает рушиться. Когда в момент закрытия в баре остается два человека и один из них сбивает с ног другого, это совсем не эквивалентно тому, что в это же время удар получают 150 миллионов американцев.

Еще один пример. Все согласны с тем, что одно из самых страшных преступлений столетия — когда в 1994 году было уничтожено 11% населения Руанды. Но мы не рассуждаем об этом кровопролитии так: «С точки зрения Европы сороковых это было в девять раз хуже холокоста». Малейшая попытка сделать это вызвала бы настоящее отвращение.

Вот одно из важнейших правил математической гигиены: когда вы проверяете на практике тот или иной математический метод, попробуйте выполнить одни и те же расчеты несколькими разными способами. Если получите в результате разные ответы, значит, с вашим методом что-то не так. […]

Безусловно, нельзя полностью отбросить пропорции. Пропорции действительно важны! Если вы хотите выяснить, в каком регионе Америки наиболее остро стоит проблема заболеваемости раком мозга, нет смысла смотреть на штаты с самым большим количеством смертных случаев от рака мозга. В таких штатах, как Калифорния, Техас, Нью-Йорк и Флорида, самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, поскольку в них самая большая численность населения. Стивен Пинкер подчеркивает эту мысль в книге 2011 года, сразу ставшей бестселлером, — The Better Angels of Our Nature: Why Violence Has Declined («Лучшие стороны нашей натуры: почему насилия становится меньше»), — где он утверждает, что на протяжении всей истории человечества происходит устойчивое снижение уровня насилия. Двадцатое столетие получило дурную репутацию из-за огромного количества людей, попавших под жернова политических распрей между великими державами. Однако в действительности нацисты, Советы, коммунистическая партия Китая и колониальное господство, по мнению Пинкера, были с пропорциональной точки зрения не самыми эффективными виновниками массовых убийств: в наши дни погибает столько же людей! Сейчас мы не выражаем особой горечи по поводу давних кровопролитий во времена Тридцатилетней войны. Однако эта война проходила в менее населенном мире, и, по оценкам Пинкера, в ней погиб каждый сотый человек на Земле. В современном мире это означало бы уничтожение 70 миллионов человек, что больше количества погибших в обеих мировых войнах. […]

В надежде понять, что происходит, предлагаю провести воображаемую игру, которую мы назовем «Кто лучше всех подбросит монету». Игра очень простая.

Вы подбрасываете какое-то количество монет, а побеждает тот, у кого больше 99 всего монет упадет вверх лицевой стороной (аверс). Чтобы несколько разнообразить игру, представим, будто не у всех ее участников одинаковое количество монет. У Малой команды всего по десять монет на каждого человека, тогда как у Большой команды на каждого приходится по сто монет.

* Я не собираюсь приводить здесь соответствующие расчеты, но, если вы захотите проверить мой результат, ключевым термином в данном случае будет «биномиальное распределение».

Если подсчитывать только абсолютное количество монет, упавших лицевой стороной вверх, одно можно утверждать почти наверняка: победителем в этой игре станет кто-то из Большой команды. Этот кто-то получит около 50 аверсов — показатель, который ни один участник Малой команды просто не сможет потянуть. Даже если в Малой команде было бы сто игроков, самый результативный из них получит восемь-девять монет, выпавших лицевой стороной вверх*.

Кажется, это крайне несправедливо! У Большой команды с самого начала имеется большее преимущество. Давайте вместо подсчета абсолютного количества монет, выпавших той или иной стороной, будем определять победителя по относительной доле выпавших монет, что должно создать для двух команд более равные условия.

Но этого не происходит. Как я уже сказал, если в Малой команде было бы сто игроков, минимум один из них мог бы выбить хотя бы восьми-девяти аверсов. Следовательно, в результате он получит минимум 80% монет, выпавших лицевой стороной вверх. А как насчет Большой команды? Ни один из ее игроков не получит 80% орлов. Безусловно, физически такое возможно. Тем не менее этого не случится. На самом деле вам понадобилось бы около двух миллиардов игроков в составе Большой команды, чтобы появилась довольно высокая вероятность получения результата, свидетельствующего о серьезном перевесе. Разве не об этом говорит ваше интуитивное представление о правдоподобии? Чем больше монет вы подбрасываете, тем больше вероятность того, что вы приблизитесь к результату 50 на 50.

Вы можете попытаться сами! Я так и сделал, и вот что произошло. Многократно подбрасывая десять монет подряд, как это сделали бы игроки Малой команды, я получил такую последовательность количества монет, выпавших лицевой стороной вверх:

4, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 3, 5, 7, 4, 5, 7, 7, 9…

С сотней монет, как в случае Большой команды, я получил такую последовательность:

46, 54, 48, 45, 45, 52, 49, 47, 58, 40, 57, 46, 46, 51, 52, 51, 50, 60, 43, 45…

А в случае тысячи монет последовательность оказалась такой:

486, 501, 489, 472, 537, 474, 508, 510, 478, 508, 493, 511, 489, 510, 530, 490, 503, 462, 500, 494…

Честно говоря, я не подбрасывал тысячу монет. Вместо этого я поставил перед своим компьютером задачу смоделировать подбрасывание монет. Разве у кого-то найдется столько времени на тысячекратное подбрасывание монеты?

У одного человека нашлось — математик из Южной Африки Джон Эдмунд Керрич, которому дали опрометчивый совет посетить Европу ни больше ни меньше как в 1939 году. Его европейский семестр быстро превратился в незапланированное заключение в концлагере в Дании. Там, где обычный узник, не столь увлеченный статистикой, проводил бы дни заточения, царапая на стене камеры прошедшие дни, Керрич подбрасывал монету (всего 10 тысяч раз) и подсчитывал количество выпаданий лицевой стороной вверх. Его результаты выглядели следующим образом:

Как видите, доля монет, выпавших лицевой стороной вверх, непреклонно стремится к 50% по мере подбрасывания все большего количества монет, как будто под действием невидимых тисков. Тот же эффект можно увидеть и во время моделирования этого процесса. Доля монет, выпавших лицевой 101 стороной в первой группе попыток, составляет от 30 до 90%. В случае сотни подбрасываний подряд этот диапазон начинает сужаться и составляет от 40 до 60%. А когда количество подбрасываний достигает тысячи, диапазон количества выпаданий лицевой стороной вверх составляет всего от 46,2 до 53,7%.

Что-то толкает наши числа все ближе и ближе к 50%. Это равнодушная и сильная рука закона больших чисел. Я не стану приводить здесь точную формулировку соответствующей теоремы (хотя она удивительно красива!), но ее можно представить следующим образом: чем больше монет вы подбрасываете, тем более маловероятно, что вы получите 80% монет, выпавших лицевой стороной вверх. В действительности, если вы подбросите достаточное количество монет, шанс, что у вас будет 51% аверсов, становится ничтожным! Нет ничего примечательного, если в случае десяти подбрасываний наблюдается неравновесный результат, однако в случае сотни подбрасываний получение соразмерного неравновесного результата было бы настолько удивительным событием, что оно скорее всего заставит задуматься, не поработал ли кто с вашими монетами.

Понимание, что результаты эксперимента стремятся к фиксированной средней величине, когда этот эксперимент повторяется многократно, — факт далеко не новый. В действительности данное явление известно почти столь же давно, сколько существует математическое изучение самой вероятности. Этот принцип сформулировал в XVI столетии Джироламо Кардано — правда, без всяких формальностей; и только в начале XIX столетия Симеон Дени Пуассон придумал для него выразительное название — «закон больших чисел» (Loi des grands nombres).

Шлем жандарма

В начале XVIII столетия Якоб Бернулли предложил точную формулировку и математическое доказательство закона больших чисел. Теперь этот закон стал уже не наблюдением, а теоремой.

И данная теорема говорит нам, что игру Большой и Малой команды нельзя считать справедливой. Закон больших чисел всегда будет подталкивать результаты игроков Большой команды к 50%, тогда как у игроков Малой команды будет гораздо более широкий диапазон результатов. Однако было бы глупо приходить к заключению, что Малая команда «лучше» справляется с подбрасыванием монет лицевой стороной вверх, даже когда она побеждает в каждой игре. Если найти средний показатель доли аверсов, выпавших у всех игроков Малой команды, вместо того чтобы рассматривать относительную долю результативного игрока, этот показатель также окажется близким к 50%, как и у Большой команды. А если определить игрока с минимальным, а не максимальным количеством выпавших аверсов, Малая команда начинает выглядеть далеко не лучшим образом в плане подбрасывания монет лицевой стороной вверх: есть заметная вероятность, что один из игроков этой команды выбьет всего 20% аверсов, тогда как ни один член Большой команды никогда не получит столь плохого результата. Определение результатов по абсолютному количеству аверсов дает Большой команде неоспоримое преимущество; с другой стороны, использование относительных показателей так же сильно склоняет игру в пользу Малой команды. Чем меньше количество монет — в статистике это количество обозначается термином «размер выборки», — тем больше разброс значений относительной доли монет, выпавших лицевой стороной вверх.

Именно этот эффект делает результаты политических опросов менее надежными, когда в них принимает участие меньшее количество избирателей. То же самое касается и рака мозга. В небольших штатах выборки имеют малый размер — они напоминают тонкий тростник, сгибающийся под ветром перемен, тогда как большие штаты можно сравнить с величественными старыми дубами, которым любой ветер нипочем. Определение абсолютного количества случаев заболеваемости раком мозга характеризуется смещением в сторону больших штатов, тогда как измерение самой высокой (или самой низкой) относительной доли ставит малые штаты во главе списка. Именно поэтому в Южной Дакоте может быть самый высокий уровень смертности от рака мозга, тогда как Северная Дакота претендует на одно из последних мест по этому показателю. Причина состоит не в том, что гора Рашмор или торговый центр Wall Drug каким-то образом оказывают пагубное воздействие на мозг. Все проще: населению штатов меньшего размера по существу свойственна более высокая вариабельность.

Таков математический факт, который вам уже известен, даже если вы сами не догадываетесь об этом. Кто самый меткий снайпер в НБА? Через месяц после начала сезона 2011/2012 года пять игроков получили равное значение самого высокого процента попаданий в лиге: Армон Джонсон, ДеАндре Лиггинс, Райан Рейд, Хашим Табит и Ронни Тюриаф.

Кто-кто?

* И да, когда вы бросаете мяч в корзину, процент попаданий не в меньшей степени зависит от ваших врожденных данных. Крупный игрок, делающий броски в корзину из-под кольца или сверху в прыжке, с самого начала имеет серьезное преимущество. Но это не имеет прямого отношения к той идее, которую мы здесь рассматриваем.

Дело в том, что эти пять игроков не были лучшими бомбардирами НБА. Они вообще почти не играли. Армон Джонсон, например, играл в одном матче за Portland Trail Blazers. Он сделал один бросок, оказавшийся точным. В целом пять игроков из этого списка сделали тринадцать бросков, каждый из которых попал в корзину. Маленькие выборки более вариабельны, поэтому ведущим игроком НБА неизменно становится тот, кто совершил небольшое количество бросков и кому каждый раз сопутствовала удача. Вы ни за что не стали бы утверждать, что Армон Джонсон был более метким снайпером, чем Тайсон Чендлер, самый результативный постоянный игрок Knicks, который попал в цель в случае 141 из 202 бросков за тот же период*. (Любые сомнения по этому поводу можно отбросить, взглянув на данные о результативности Джонсона на протяжении сезона 2010/2011 года, когда в ходе игры он сделал 45,5% попаданий — причем попаданий довольно заурядных.) Именно поэтому в стандартном списке лидеров не отображаются данные о результативности таких игроков, как Армон Джонсон. Вместо этого НБА включает в рейтинги только тех, кто превысил определенный порог игрового времени; в противном случае первые места в списке занимали бы никому не известные временные игроки с их выборками малого размера.

Однако не всякая рейтинговая система разработана настолько грамотно, чтобы принимать во внимание закон больших чисел. В штате Северная Каролина, как и во многих других штатах в эпоху образовательной отчетности, были введены программы мотивации, рассчитанные на школы, добивающиеся высоких результатов по стандартизованным тестам. Рейтинг каждой школы определяется по среднему увеличению количества баллов, полученных учениками по тестам за период с весны текущего до весны следующего года. Школы, занявшие в рейтинге по данному показателю первые 25 мест, вывешивают свой плакат в спортивном зале и получают право с гордостью говорить о своих достижениях в близлежащих городах.

Кто побеждает в таком соревновании? Например, в 1999 году первое место в рейтинге (с «суммарным показателем результативности», равным 91,5) заняла начальная школа C.C. Wright Elementary в Северном Уилксборо. Это небольшая школа (всего 418 учеников), расположенная в штате, в котором средняя численность учеников начальных школ составляет 500 детей. Второе место заняла школа Kingswood Elementary (90,9 балла), за ней следует школа Riverside Elementary (90,4 балла). В школе Kingswood насчитывалось лишь 315 учеников, а в начальной школе Riverside из аппалачского городка Ньюленд учился только 161 ребенок.

Получается, что по данному показателю небольшие школы обошли все остальные школы штата Северная Каролина. Томас Кейн и Дуглас Стейджер провели исследование, в ходе которого было установлено, что в тот или иной момент семилетнего периода, охваченного исследованием, 28% самых маленьких школ штата попадали в первые 25 мест рейтинга; при этом из всех школ только 7% школ получали право вывесить плакат в спортзале.

Создается впечатление, что в маленьких школах уделяется больше времени для индивидуального обучения, поскольку учителя хорошо знают своих учеников и их семьи, и поэтому они лучше справляются с повышением результатов тестов.

Может быть, мне следует упомянуть, что статья Кейна и Стейджера называется так: The Promise and Pitfalls of Using Imprecise School Accountability Measures («Перспективы и подводные камни использования неточных показателей школьной отчетности»). Кроме того, нелишне отметить, что небольшие школы в среднем не демонстрируют тенденции к получению существенно более высоких результатов по тестам. И еще не мешало бы добавить, что школы, куда были направлены «группы по оказанию поддержки» (речь идет о школах, получивших от властей штата взбучку за низкие результаты по тестам), в большинстве своем также относились к числу небольших школ.

Короче говоря, насколько нам известно, школа Riverside не может считаться одной из лучших начальных школ штата Северная Каролина, так же как и Армон Джонсон не может быть самым метким снайпером в лиге. Небольшие школы занимают большинство из первых 25 мест в рейтинге не потому, что они лучшие, а потому что в маленьких школах более высокий уровень вариабельности результатов тестов. С одной стороны, несколько одаренных детей и несколько двоечников из третьего класса в состоянии существенно изменить средний показатель школы. С другой стороны, в крупной школе воздействие нескольких очень высоких или очень низких результатов просто растворится в большом среднем значении, практически не изменив общего показателя.

Не совсем ясно, по каким критериям определять, почему одна школа самая лучшая и почему граждане одного штата больше всего подвержены онкологическим заболеваниям, когда вычисление простых средних показателей не позволяет сделать этого? Если вы руководите работой многих групп, как вычислить эффективность каждой из них, если более мелкие группы с большой вероятностью займут как верхние, так и нижние позиции вашего рейтинга?

К сожалению, легкого ответа на этот вопрос не существует. Если в таком крохотном штате, как Южная Дакота, имеет место резкое увеличение уровня заболеваемости раком мозга, вы можете предположить, будто этот всплеск в значительной мере произошел по воле случая, и сделать вывод, что в будущем уровень заболеваемости раком мозга приблизится к общему показателю по стране. Это можно сделать, вычислив взвешенное среднее от уровня заболеваемости в Южной Дакоте и в целом по стране. Но как взвесить два данных показателя? В какой-то мере это искусство, требующее больших затрат труда на выполнение формальных операций, от описания которых я вас здесь избавлю.

Один важный факт впервые обнаружил Абрахам де Муавр, который внес большой вклад в теорию вероятностей. Его книга The Doctrine of Chances («Теория случайностей») стала одним из ключевых трудов по этому предмету.

(Даже в те времена популяризация математических достижений представляла собой активную область. Эдмонд Хойл, чтобы помочь любителям азартных игр освоить новую теорию, написал учебный трактат An Essay Towards Making the Doctrine of Chances Easy to those who Understand Vulgar Arithmetic only, to which is added some useful tables on annuities («Исследование, предназначенное, чтобы сделать „теорию случайностей“ более понятной для людей, понимающих только простую арифметику, а также несколько полезных таблиц аннуитетов»). Авторитет Хойла в вопросах карточных игр был настолько велик, что многие до сих пор ссылаются на его мнение; в определенной среде нередко можно услышать расхожие фразы: «По утверждению Хойла», «По правилам Хойла».)

Де Муавра не удовлетворял закон больших чисел, гласивший, что в долгосрочной перспективе доля аверсов в последовательности подбрасываний монет все больше приближается к 50%. Он хотел знать, насколько ближе. Чтобы понять сделанное Муавром открытие, предлагаю вернуться к подбрасыванию монет и еще раз проанализировать этот феномен. Но теперь вместо перечисления общего количества монет, выпавших лицевой стороной вверх, мы будем записывать разность между количеством фактически выпавших аверсов и количеством аверсов, выпадания которых можно ожидать в случае 50% подбрасываний. Если подбрасывать десяток монет, вы получите такую последовательность:

1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 4…

Если подбрасывать сотню монет, последовательность выглядит так:

4, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 8, 10, 7, 4, 4, 1, 2, 1, 0, 10, 7, 5…

А в случае тысячи монет будет получена такая последовательность:

14, 1, 11, 28, 37, 26, 8, 10, 22, 8, 7, 11, 11, 10, 30, 10, 3, 38, 0, 6…

* Специалисты наверняка обратят внимание, что я всячески избегаю понятия «стандартное отклонение». Неспециалисты, желающие глубже изучить данный вопрос, могут поискать этот термин в справочнике.

Как видите, отклонения от 50 на 50 в абсолютном выражении становятся больше по мере увеличения количества подбрасываний монет, хотя (как того требует закон больших чисел) эти отклонения становятся меньше в случае относительной доли монет, выпавших той или иной стороной. Де Муавр пришел к выводу, что типичное отклонение* зависит от квадратного корня из количества монет, которые вы подбрасываете. Подбросьте в сто раз больше монет, чем раньше, и типичное отклонение возрастет в 10 раз — во всяком случае, в абсолютном выражении. В случае доли от общего количества подбрасываний отклонение сокращается по мере увеличения количества монет, поскольку квадратный корень из количества монет увеличивается гораздо медленнее, чем само количество монет. Тот, кто подбрасывает тысячу монет, порой отклоняется от уровня равномерного распределения на целых 38 аверсов, однако — с точки зрения доли от общего количества бросков — это составляет всего 3,8% от распределения 50 на 50.

Наблюдение де Муавра совпадает с концепцией, лежащей в основе расчетов стандартной погрешности в результатах политического опроса. Если вы хотите сократить уровень погрешности в два раза, вам необходимо опросить в четыре раза больше людей. Но если вы хотите знать, как правильно оценить довольно большое количество выпавших аверсов, можно определить, на сколько квадратных корней из числа попыток данное значение отклоняется от 50%. Квадратный корень из 100 равен 10. Следовательно, если я получил 60 аверсов за 100 попыток, это и есть отклонение на один квадратный корень от распределения 50 на 50. Квадратный корень из 1000 равен почти 31; следовательно, если я получил 538 аверсов за 1000 попыток, значит, мне удалось совершить нечто еще более удивительное, хотя во втором случае я получил всего 53,8% аверсов, тогда как в первом случае — 60%.

Однако де Муавр еще не поставил точку в своих изысканиях. Он обнаружил, что в долгосрочной перспективе отклонения от 50 на 50 всегда стремятся сформировать идеальную колоколообразную кривую, которую мы называем нормальным распределением. Основоположник статистики Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил называть эту кривую шлемом жандарма. (Должен признаться, мне жаль, что этот термин не прижился.)

* Точнее говоря, немного меньше, где-то 95,37%, поскольку квадратный корень из 1000 не в точности равен 31 — он чуть меньше.

Колоколообразная кривая («шлем жандарма») высокая посередине и плоская по краям; другими словами, чем дальше отклонение от нуля, тем меньше вероятность такого отклонения. Это можно точно представить в количественной форме. Если вы подбрасываете N монет, вероятность того, что в итоге вы отклонитесь от 50% не более чем на квадратный корень из N, составляет 95,45%. Квадратный корень из 1000 равен 31; в действительности восемнадцать из представленных выше двадцати попыток в случае подбрасывания тысячи монет (или 90%) были в пределах 31 аверсов больше или меньше 500. Если я продолжил бы игру, относительная доля количества раз, когда я попадал бы в диапазон от 469 до 531, все больше приближалась бы к показателю 95,45%*.

Возникает ощущение, будто нечто воздействует на то, как это происходит. Вполне допускаю, что подобное ощущение было и у самого де Муавра. Согласно многим свидетельствам, он рассматривал закономерности в поведении монет при многократном подбрасывании (или в любом другом эксперименте при наличии фактора случайности) как проявление воли Бога, превращавшего любые кратковременные особенности монет, игральных костей и человеческих жизней в предсказуемое долгосрочное поведение, которым управляют непреложные законы и поддающиеся расшифровке формулы.

Однако такое ощущение опасно, поскольку как только вы примете за истину, будто чья-то трансцендентальная воля (Божья ли, Госпожи ли Удачи или Лакшми — чья конкретно, не имеет значения) подталкивает монеты к тому, чтобы они выпадали лицевой стороной вверх в половине случаев, вы сразу начинаете верить в так называемый закон средних: если пять монет подряд выпадают аверсом, тогда следующая почти наверняка выпадет реверсом. Если у кого-то есть три сына, следующей наверняка будет дочь. В конце концов, разве де Муавр не говорил нам, что крайние результаты (такие как четыре сына подряд) в высшей степени маловероятны? Говорил, и так оно и есть на самом деле. Тем не менее, если у вас уже есть три сына, возможность того, что четвертым тоже будет сын, далеко не маловероятна. В действительности вероятность, что у вас снова будет сын, такая же, как если это был бы ваш первый ребенок (Возможно, даже чуть больше, поскольку три сына подряд могут указывать на наличие у вас соответствующей генетической предрасположенности; ср. обсуждение далее. Прим. М. Г.).

*На самом деле точнее так: 51,5% мальчиков и 48,5% девочек — но кому придет в голову подсчитывать?

На первый взгляд может показаться, что это противоречит закону больших чисел, который должен был бы разделить ваше потомство в равных частях на девочек и мальчиков*. Однако это только кажущееся противоречие. Легче понять, что происходит, на примере монет. Я мог бы начать подбрасывать монеты и получить 10 аверсов подряд. Что произойдет далее? Прежде всего вы заподозрите, будто что-то не так с вашей монетой. Во второй части книги мы вернемся к этому вопросу, но пока будем исходить из предположения, что монета у нас правильная. Итак, закон гласит: по мере того как я подбрасываю монету все больше и больше раз, относительная доля выпавших аверсов должна приближаться к 50%.

Здравый смысл говорит, что теперь — дабы скорректировать существующий дисбаланс — вероятность выпадания реверсов должна быть немного выше.

Но тот же здравый смысл еще более настойчиво утверждает: монета никак не в состоянии помнить, что с ней происходило, когда я подбрасывал ее первые десять раз!

Не хочу держать вас в неведении. Здравый смысл прав во втором случае. Закон средних получил не очень подходящее название, поскольку законы должны быть истинными, а этот закон ложный. У монет нет памяти, а значит, у следующей монеты, которую вы подбросите, такой же шанс 50 на 50 выпасть лицевой стороной вверх, что и у любой другой. Общая относительная доля монет стремится к 50% вовсе не по причине благоволения судьбы к реверсам — дабы компенсировать уже выпавшие аверсы. Причина в том, что чем больше вы подбрасываете монету, тем больше уменьшается влияние первых десяти подбрасываний. Если я подброшу монету еще тысячу раз и получу при этом примерно половину аверсов, то их доля в серии первых 1010 подбрасываний также приблизится к 50%. Именно так работает закон больших чисел: не уравновешивая то, что уже произошло, а разбавляя произошедшее новыми данными до тех пор, пока прошлое станет настолько пропорционально незначительным, что его вполне можно будет забыть.

Пережившие катастрофу

Что применимо к монетам и результатам тестов, также относится к массовым убийствам и геноциду. Если оценивать количество погибших в доле от численности населения страны, худшие преступления будут сосредоточены в самых маленьких странах. Мэтью Уайт, автор довольно мрачной книги Great Big Book of Horrible Things («Большая книга ужасов»), расположив кровопролития ХХ столетия именно в таком порядке, пришел к выводу, что первые три места занимают следующие преступления: уничтожение племени гереро в Намибии германскими колонистами; массовое убийство камбоджийцев Пол Потом; война короля Леопольда в Конго. В этот список не входят ни Гитлер, ни Сталин, ни Мао и ни огромные массы людей, которых истребили эти деятели.

Подобное смещение оценки в сторону стран с меньшей численностью населения создает проблему: где наше подкрепленное математическими выкладками правило, позволявшее бы точно определять, насколько тяжело нам воспринимать новости о гибели людей в Израиле, Палестине, Никарагуа или Испании?

* Массовое убийство в Руанде представителей народности тутси по приказу правительства хуту в 1994 году. Прим. М. Г.

Вот эмпирическое правило, которое я считаю приемлемым: если масштаб катастрофы настолько велик, что уместно говорить об «переживших катастрофу», тогда целесообразно оценивать количество погибших в виде относительной доли от общей численности населения. Когда речь идет о выживших после геноцида в Руанде, то это может быть любой тутси, живущий в стране*. Следовательно, уместно было бы сказать, что геноцид уничтожил 75% племени тутси. При этом у вас были бы все основания утверждать, что катастрофа, унесшая жизни 75% населения Швейцарии, является «швейцарским эквивалентом» того, что произошло с тутси.

С другой стороны, было бы абсурдно называть кого-либо из обитателей Сиэтла «пережившими катастрофу» после террористической атаки на Всемирный торговый центр. Следовательно, нецелесообразно оценивать количество погибших во Всемирном торговом центре в виде доли от всех американцев. В тот день в башнях-близнецах погиб один из сотни тысяч американцев, или 0,001%. Эта цифра слишком приближается к нулю, чтобы мы могли воспринять ее и удержать в своем сознании. Кроме того, было бы рискованно заявлять, что швейцарским эквивалентом терактов во Всемирном торговом центре является массовое убийство, унесшее жизни 0,001% швейцарцев, или 80 человек.

И все-таки каким образом нам составлять рейтинг злодеяний, если не по абсолютному количеству и не по относительной доле? Некоторые сравнения очевидны. Геноцид в Руанде был хуже терактов 11 сентября, теракты 11 сентября были хуже стрельбы в школе Columbine, а случившееся в этой школе хуже гибели одного человека в автокатастрофе, произошедшей из-за нетрезвого состояния водителя. Другие события, разделенные пространством и временем на огромные расстояния, сравнивать труднее. Действительно ли Тридцатилетняя война была более кровопролитной, чем Первая мировая? Как ужасающий геноцид в Руанде, длившийся не слишком долго, можно сравнить с затяжной и жестокой войной между Ираном и Ираком?

Большинство математиков сказали бы, что вошедшие в историю катастрофы и злодеяния в конечном счете образуют так называемое частично упорядоченное множество. Под такой замысловатой формулировкой замаскирована простая мысль: какие-то пары катастроф можно сравнивать по существу, тогда как другие не поддаются сравнению. Дело не в том, что у нас нет точных данных о количестве погибших или что мы не выработали вполне твердой позиции по отношению к проблеме уничтожения людей — от взрыва ли бомбы или от голодной смерти, вызванной войной. Причина заключается в другом: мы не знаем, на каких весах сравнивать эти катастрофы. Обсуждение вопроса, насколько одна война хуже другой, в корне отличается от обсуждения вопроса, является ли одно число больше другого. На второй вопрос всегда есть ответ. На первый — ответа нет. Если вы хотите осознать, что такое гибель двадцати шести человек от бомбы террориста, представьте себе смерть двадцати шести человек от бомбы террориста, но не где-то на другом конце света, а в своем родном городе. Такой подход будет абсолютно безупречен как с математической, так и с моральной точки зрения — и никакой калькулятор вам не понадобится.