Математика — та область, в которой, пожалуй, наиболее ярко проявляется водораздел между «у меня нет способностей» и «меня неправильно учили». Хотя на самом деле все гораздо сложнее: важны не только «математический склад ума» и «наглядность преподавания», но и навыки коммуникации и даже язык, на котором ведется обучение. Все это изучает профессор Иллинойского университета Норма Пресмег, которая выступит на конференции «Психология и технологии в математическом образовании». По просьбе T&P директор по исследованиям «Яндекс.Учебник» Наталья Чеботарь поговорила с профессором Пресмег о пользе и опасностях математических визуализаций, правильном подходе к преподаванию и этноматематике.

— Давайте сразу внесем ясность: вы изучаете не математику, а тех, кто изучает математику…

— Есть большая разница между тем, чем занимаются математики, и тем, чем занимаются исследователи математического образования. Иногда математики думают, что они занимаются исследованиями, потому что они преподают математику, но часто они просто не знают о том, что математическое образование — это вот уже более 50 лет как совершенно отдельная область исследований. Всего 50 лет, хотя самой математике тысячи лет.

Большая часть моих работ основываются на работах советского психолога Крутецкого. Он проделал большую работу, которая, на мой взгляд, до сих пор не получила достаточного внимания. Сейчас я занимаюсь тем, чтобы показать, насколько его научные работы опередили свое время.

— Да, образование как область научных исследований часто упускают из виду.

— Вообще-то я сама считаю себя преподавателем математики, я 12 лет преподавала математику в старшей школе. И хотя у меня есть диплом математика, ученую степень я получала в Кембридже именно в области исследований математического образования. И исследование тех лет стало одной из самых потрясающих вещей, которые мне довелось сделать в жизни.

Это исследование началось прямо в классе: когда я преподавала математику в школе в ЮАР, я обратила внимание на нескольких учеников в моем классе. Они мечтали быть архитекторами, инженерами, для карьеры в этих областях им нужна была математика, но была одна проблема. Во время летних каникул они сдавали профориентационные тесты, и так получилось, что я была в комиссии проверяющих. И вот что я обнаружила: эти дети были невероятно одаренными в области пространственного мышления, всего 4% от всех сдававших экзамен могли показать такой уровень. Однако они полностью провалили математику, хотя многие разделы математики связаны с пространственным мышлением — и это не только геометрия, но и тригонометрия и даже алгебра (в работе с равенствами и формулами есть и визуальный компонент).

До этого я исследовала особенности креативного мышления Эйнштейна. Он любил думать картинками и вообще был отличным визуализатором. Я увидела связь: значит, все-таки возможно использовать визуальные образы для понимания математического материала. Но в ЮАР на тот момент не было никого, кто бы мог направить меня в моих исследованиях. Поэтому я отправилась в Кембридж, где нашла поддержку: коллеги считали, что вопрос, который меня беспокоил, нуждается в исследовании. Три года я пыталась понять, почему школьники, обладающие пространственным мышлением, не могут справиться с математикой.

— Удалось найти ответ?

— Да, и он был довольно неожиданным. Пришлось исследовать не только учеников, но и их учителей. На основе работ Крутецкого, который тоже изучал визуализацию как способ математического мышления у математически одаренных ребят, я разработала тесты — для учеников и учителей, и после того, как эти тесты были проверены на валидность, мы провели полевые исследования в выпускных классах школ. А затем я провела целый год, наблюдая за работой в классе, интервьюируя учителей и учеников.

Среди учащихся явно выделялись 54% «визуализаторов», тех кто предпочитает картинки, — но, выбирая стратегии для работы с классом, учителя редко ориентировались на них. Однако нашлось пять учителей, которые очень активно использовали визуализации в своей работе, — но корреляции между тем, насколько активно учитель использует визуальный материал в работе, и тем, какие результаты показывают его ученики-«визуализаторы», не обнаружилось.

Конечно, на уроках без визуализаций дети просто запоминают материал без глубокого понимания. Но и с визуальным подкреплением дела шли не лучше. Оказалось, что

дело не в визуализации, а в абстрактном мышлении, умении делать обобщения на основе этих визуализаций. Можно дать ученикам очень четкую картинку, прототип — и он просто не оставит места для анализа, додумывания.

— И как преподавать математику тем, кому она не дается?

— Среди всех участников исследования самым эффективным учителем оказался тот, кто использовал много визуализаций, но всегда вместе с заданиями на абстрактное обобщение этого визуального материала, додумывание. То есть — да, используйте цвет, линии и т. д., но если уж говорите о треугольнике, то задавайте вопросы и заставляйте думать. Важно не только представлять математику наглядно, но и иметь в виду трудности, которые сопровождают визуальное мышление.

Есть такое понятие — паттерны. Развивайте паттерное мышление. Скажем, если шахматиста-новичка попросить описать шахматную доску, он в деталях расскажет о шахматных фигурах. Опытные шахматисты видят вертикали, горизонтали, диагонали — паттерны, по которым перемещаются фигуры.

Именно паттерны, визуальные обобщения помогают в математике, в то время как конкретные изображения могут быть помехой на пути к пониманию математических понятий.

— И все-таки: существует такое явление, как талант к математике? Или математика подвластна всем?

— Вернусь к работам Крутецкого. Он работал в школах в конце 1930-х — тогда не было школьных тестов, не было данных. Если ученик не мог освоить математику, это однозначно была вина учителя. Так вот, Крутецкий и его коллега-исследователь Наталья Менчинская задались вопросом: как возможно, что дети одних родителей, которые учатся в одной школе у одного учителя, учатся по-разному? В своих исследованиях Крутецкий выдвинул гипотезу, что есть такая вещь, как математический склад ума. И если он присутствует, то он помогает ребенку видеть математику во всем. В те времена такая гипотеза — разделение детей на неспособных, способных и одаренных — не была популярной. Но результаты исследований показывали, что одни дети рассматривали каждую задачу как совершенно новую, а другие легко видели общее, находили параллели с тем, что они когда-то раньше решали, выделяли принципы решений.

Математический склад ума — это некоторый способ думать, который одним дается проще, а другим сложнее. Если ребенку сложно с математикой — возможно, стоит поискать другие области, где ему легче. Тем не менее внимательный учитель должен помочь каждому увидеть общее в разных задачах и научить не страдать над ними, а получать удовольствие от решения.

Математические культуры

— Вы ведь еще занимаетесь этноматематикой. Что это такое?

— Как я говорила, я работала в ЮАР. В Дурбанском университете около трети студентов были европейцами, треть — местное население, и треть — эмигранты из Индии. Это было еще в 1980-х, ситуация была напряженной, и было особенно важно учитывать разные культурологические нюансы. В университете я занималась обучением учителей и тогда поняла, насколько важно исследовать культуру, особенно в связи с обучением математике.

Многие считают математику предметом, независимым от каких-либо культурных кодов, но это только так кажется.

Меня заинтересовали математические идеи, созданные в национальных культурах, и люди, которые этими идеями пользуются на практике.

Например, у австралийских аборигенов есть довольно сложная монархическая система. Она накладывает множество ограничений на браки с людьми за пределами сообщества, но также, естественно, и на браки с близкими родственниками. Чтобы определить, кому на ком можно жениться, у них придумана система, в которой участвуют диэдральные группы четвертого порядка — это довольно сложное математическое построение. Естественно, сами аборигены ничего такого не высчитывают, они просто проживают свою культуру. И вот именно такими вещами занимается этноматематика — cмотрит на культуры через математические очки. Даже здесь, в США, некоторые из моих студентов увлекаются шитьем традиционных пледов из лоскутов, а ведь узоры, которые передаются из поколения в поколение, — это тоже этноматематика.

— Изучает ли этноматематика влияние определенной культуры на математические способности?

— Я бы не сказала, что принадлежность к какой-либо культуре дает детям определенные преимущества в математике. А вот что точно помогает, так это когда язык, на котором говорят с детьми дома, совпадает с тем, на котором говорят в классе. Когда эти языки различаются, дети действительно испытывают трудности в классе.

И, конечно, сам язык оказывает влияние.

Есть языки, которые вообще лучше приспособлены к математике

— например, японский, где «11» передается через слова «десять» и «один». В английском это будет отдельное слово «eleven» — что?! А во французском вообще считают двадцатками! Чтобы cказать «81», вам придется произнести «четырежды двадцать и один» — вы только представьте себе, как дети этому учатся.

— А насколько математические способности зависят от общего культурного уровня?

— Австралийский ученый Ллойд До исследовал влияние языковых барьеров на обучение: если ребенок мог преодолеть языковой барьер, он мог продвинуться в математике, но для тех, кто не смог овладеть языком свободно, сам язык оказывался препятствием. Была и гипотеза Сепира — Уорфа, которая говорила, что язык определяет способ мышления, но в дальнейшем многочисленные исследования опровергли некоторые ее утверждения.

Математика дается людям всех культур. Но есть разница между двумя типами «окультуривания» — культура, которую ты принимаешь от родителей, и культура, отличная от твоей родной, которую ты изучаешь. Если ребенок способен воспринимать новую для себя культуру, у него все получится.

Не можете решить задачу — поговорите об этом

— Вы выступаете на конференции, которая называется «Психология и технологии в математическом образовании». Несколько лет назад у многих было ощущение, что индивидуальные траектории в обучении — это вопрос нескольких лет, что совсем скоро современные онлайн-сервисы смогут научить, скажем, математике тех, кого не могли научить раньше. Кажется, эта задача намного сложнее, и сложности находятся скорее на стороне науки: мы до сих пор не очень хорошо понимаем, как разные люди учатся.

— Важно осознать, насколько важную роль в обучении играет хороший учитель. Я думаю, что хорошего учителя никакая машина никогда не заменит. Мои исследования ясно показывают: чтобы добиваться результата, преподаватели подстраиваются под разных учеников. И чаще всего это происходит на интуитивном уровне. Важнее всего понять, почему учащийся дает тот или иной ответ на задачу, — ответ может быть неправильным, но только преподаватель может определить причину неверного ответа. Есть трудноуловимые связи между людьми, вряд ли в ближайшие 20 лет компьютеры смогут их воспроизвести.

— Часто говорят, что учитель больше не источник знания, а человек, который создает образовательное пространство. Но из того, что вы говорите, следует, что роль учителя больше похожа на роль врача, который способен точно диагностировать причины ошибок, которые совершает ученик.

— Мне нравится ваша метафора. Учитель и диагностирует, и выдает лекарство. И неважно, насколько замысловатыми будут компьютерные решения, — компьютер никогда не сможет обеспечить такой уровень согласованности между людьми, не сможет точно диагностировать причину неудачи ученика в конкретном примере. Но это проблема, потому что одно дело — гипотетический учитель, который работает с учащимся один на один, и совсем другое — класс, в котором разные ученики думают и воспринимают информацию по-разному.

Мои исследования — тесты на предпочтительный вид мышления — показывают нормальное гауссовское распределение. Большая часть людей находится в центральной части «холма»: иногда им нужно больше визуального подкрепления, иногда оно не требуется. Это зависит от трех факторов — от самого задания, от инструкций к заданию, которые могут требовать выполнять задание только определенным образом, и от индивидуальных особенностей человека. Но вот по краям распределения как раз хорошо видны различия: с одной стороны находятся люди, которым всегда нужны картинки (они сами их нарисуют, если не получат от преподавателя), а с другой — те, кому картинки не нужны, они на них вообще внимания не обращают. Так вот представьте: у вас в классе такое вот распределение, а вы пытаетесь (вынуждены) всех учить одним способом.

Я верю, что помочь в этой ситуации могут несколько практик — обсуждения заданий в небольших группах и возможность ученика рассказать о своем решении всему классу, чтобы другие могли узнать о другом способе мышления. Важно оставлять в классе место для коммуникаций, развивать умение выражать словами математические идеи.

Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.

Где можно учиться по теме #математика