В школе было важно правильно писать слова «задача» и «решение» и красиво рисовать скобки. В итоге для многих алгебра и геометрия остались набором непонятных формул, которые нужно заучивать наизусть. Профессор математики Нелли Литвак и продюсер Алла Кечеджан написали об этом книгу «Математика для безнадежных гуманитариев. Для тех, кто учил языки, литературу и прочую лирику». Публикуем отрывок о разных способах умножения и о том, почему раскрытие скобок — это естественный закон о разрывании вещей.

18 × 5

Начнем с задания из книги Джо Боулер «Математическое мышление». Это одно из ее любимых заданий. Оно очень простое, пожалуйста, выполните его полностью.

Задание: Умножьте в уме 18 на 5. Напишите подробно, как именно вы это сделали. То есть что на что умножили сначала, что потом, что складывали. Или, может, вы помнили ответ наизусть? Удачи!

Это простенькое задание Джо Боулер задавала многим, в том числе ребятам из технологического стартапа, у которых с умножением все в порядке. Тем не менее, они бурно обсуждали задание, горячились, выбегали к доске, а потом даже предложили выпустить футболку с надписью 18 × 5.

Что их так потрясло? То, что все они решили эту простую задачку разными способами! Наверное, многие из вас посчитали вот так:

18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Кто-то посчитал по-другому:

18 × 5 = 20 × 5 — 2 × 5 = 100 — 10 = 90.

А можно еще вот так:

9 × 2 × 5 = 9 × 10 = 90.

Еще один удобный способ умножить на 5 — это сначала умножить на 10, а потом поделить пополам. Вот так:

18 × 5 = (18 × 10) / 2 = 180 / 2 = 90.

Знаете ли вы, что во французском языке считают не десятками, а двадцатками? Число 90 по-французски звучит так: quatre vingt dix, что в буквальном переводе означает «четырежды двадцать десять». И мы могли бы посчитать на французский манер:

18 × 5 = 4(4 × 5) + 2 × 5 = 4 × 20 + 10 = 90.

Надеемся, мы вас убедили, что даже при элементарном умножении нет единственно правильного подхода. Прийти к ответу можно самыми разными способами, и все они правильные.

Путь к решению — это и есть самое интересное в математике. А вовсе не правильный ответ!

Решение важнее ответа

«Одна из самых первых и самых сложных задач, с которой я сталкиваюсь как университетский преподаватель, — это заставить студентов (да, именно заставить!) правильно записывать математику. Их первые домашние задания — это обычно нечитабельная коллекция цифр и символов… „Зачем писать полные предложения? — удивляется первокурсник. — Я же нашел правильный ответ, вот, смотрите, внизу страницы!“»

Автор этих строк — профессор математики Кевин Хьюстон из Лидского университета в Англии и автор книги «Думать как математик» (How to Think Like a Mathematician). Под его словами подпишется подавляющее большинство университетских преподавателей.

В школе на уроках математики мы привыкли, что самое главное — это правильный ответ и что учитель из обрывков формул поймет, как мы до него добрались. Но на самом деле в математике, по словам того же Хьюстона, главное — «получить ответ с помощью обоснованных аргументов и убедить других, что ваши аргументы обоснованы».

В этом еще один колоссальный разрыв между школьной математикой и математикой на самом деле. Главное не ответ, главное — решение. Математические статьи в основном состоят из слов, а не из формул. И даже формулы, если приглядеться внимательно, это просто часть предложения! Мы могли бы это все записать словами, но формулы просто короче. Как пишет Джейсон Уилкс в книге «Математика в огне», формулы — это всего-навсего сокращения.

Работа по математике — это связное рассуждение. В этом смысле она ничем не отличается от работы, скажем, по истории.

Муж Нелли тоже университетский преподаватель математики. И, конечно, он тоже тратит много сил и времени, чтобы убедить студентов записывать решения подробно, с помощью полных предложений. Убедить бывших школьников, что решение важнее ответа, очень непросто! На рисунке его любимый пример, который он приводит на своих занятиях.

Ответ совершенно правильный, можете сами проверить. Но если рассуждать так, то можно получить и много всякой ерунды, например, что ¹²/₂₄ тоже равно ¼, или что ¹³/₃₉ равно ⅑.

На всякий случай приведем правильное решение. Можете в нем не разбираться, мы просто хотим показать, что оно выглядит совершенно по-другому.

Как видите, правильный ответ мало что значит. Получилась одна четвертая — ну и что. Это может посчитать любой калькулятор. Для математиков самое важное — это подход. Если нам нужно упростить дробь, то нельзя взять и зачеркнуть шестерку, а нужно искать общие множители!

Главное не ответ, а решение. И мы уже видели, что даже такую простую задачку, как 18 × 5, можно решить самыми разными способами. Поэтому математика — это не набор стандартных приемов, а творческий процесс.

В математике есть понятие вкуса: кому-то больше нравится одно решение, кому-то другое. У математиков могут быть свои любимые способы доказательств, теоремы, алгоритмы. И уж конечно, в математике есть мода и даже устаревшие задачи и устаревшие методы решения!

Устаревшая математика?

В блестящем TED-выступлении в октябре 2014 года Эдуардо Саенц де Кабесон сказал: «Если вы хотите сделать подарок навечно, не дарите бриллианты, подарите теорему!»

Если математический результат доказан, то он верен всегда. Любая теорема — на века. В других науках это не так. Например, сначала люди считали, что земля плоская; потом стали полагать, что круглая. Сначала думали, что брожение вина — это химический процесс, потом Луи Пастер доказал, что брожение происходит из-за бактерий (кстати, именно в честь Пастера мы называем молоко пастеризованным). Математика в этом плане занимает особенное место.

Если математический результат доказан, то он — как ни крути — всегда останется верным.

Тем не менее, в математике, как в искусстве, что-то становится классикой, а что-то устаревает. Например, теорема Пифагора — это золотая классика, которая не устареет никогда! Не случайно профессор математики и популяризатор Алексей Савватеев сказал, что именно эту теорему он передал бы в капсуле инопланетянам как одно из основных достижений человеческого разума.

Что же такое устаревшая теорема? Нелли запомнилась история, которую ей рассказал коллега из университета Твенте, профессор по вычислительным методам.

Вычислительные методы — это область математики, которая разрабатывает алгоритмы, чтобы решать задачи приблизительно, с помощью вычислений, а не с помощью формул. Коллега Нелли рассказал ей, как лет двадцать назад уходил на пенсию старый профессор и оставил ему журналы по вычислительным методам 60-х годов. Это были отличные журналы, в них публиковались известные авторы. Но только тогда еще не было общедоступных быстрых компьютеров. Ученые пользовались так называемыми специальными функциями и таблицами, которые занимали целые тома.

С появлением компьютеров все изменилось, потому что машины считают очень быстро. Обычный ноутбук выполняет 2 миллиарда операций в секунду! Многие результаты и подходы докомпьютерной эпохи безнадежно устарели. Коллега Нелли глубоко вздохнул и отнес все эти журналы в макулатуру.

Вы уже раскрыли скобки!

Посмотрим снова на пример 18 × 5. Допустим, вы подсчитали так:

18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Когда мы умножаем в уме, мы очень легко и естественно разбиваем числа на части и умножаем по отдельности. Это и есть раскрытие скобок. Скобки нам нужны, просто чтобы записать то, что мы делаем в уме:

(10 + 8) × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

Математики называют раскрытие скобок великими и ужасными словами «распределительный закон».

Звучит умно, но терминология не так важна. В книге «Математика в огне» Уилкс называет раскрытие скобок «естественным законом о разрывании вещей». Мы «разрываем» 18 на две части — 10 и 8, умножаем каждую из них на 5, а потом складываем.

Две скобки

Скобок может быть и больше. Принцип остается тот же самый.

Задание: Умножьте 12 на 13. Объясните, как это можно сделать с помощью раскрытия скобок. Считать в столбик, на калькуляторе или пользоваться Интернетом можно, только чтобы проверить ответ. Удачи!

Начать можно, как и раньше:

12 × 13 = (10+ 2) × 13 = 10 × 13 + 2 × 13.

В принципе теперь можно сразу посчитать ответ:

130 + 26 = 156.

Но, если подумать: как мы умножаем на 13? Может, кто-то делает это на автомате. Но обычно (может, даже незаметно для себя) мы все-таки разрываем 13 на 10 и 3. Тогда получается:

10 × 13 + 2 × 13 = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 10 × 10 + 10 × 3 + 2 × 10 + 2 × 3 = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

Конечно, скобок может быть и больше:

12 × 13 × 14 = (10 + 2) × (10 + 3) × (10 + 4).

И чисел в скобках тоже может быть больше:

112 × 113 = (100 + 10 + 2) × (100 + 10 + 3).

Принцип тот же, просто вычисления длиннее. Сколько бы ни было скобок.

Скобки и площади

Со школы мы привыкли считать, что есть две математики — алгебра и геометрия, и каждая тема сама по себе. На самом деле в математике все взаимосвязано и наука движется вперед, как раз когда идеи из одного раздела проникают в другой.

Площадь прямоугольника — скорее геометрия. Раскрытие скобок — типичная алгебра. Но площадь прямоугольника — это одна сторона, умноженная на другую. И скобки мы раскрываем тоже, когда умножаем числа. Значит, связь есть!

Алла долго воевала со скобками, пока не решила их нарисовать. Когда она увидела связь между скобками, умножением и площадью прямоугольника, все встало на свои места.

Нелли долго удивлялась: неужели на числах было непонятно? Но многим детям и взрослым — в точности как Алле — гораздо проще работать с рисунками, фигурами и площадями, чем с абстрактными числами и скобками. Классическая школьная программа обычно не рассчитана на визуалов. Мы постараемся немножко восполнить этот пробел и нарисовать тему скобок.

Нарисуйте прямоугольник 12 на 13 см. Ничего страшного, если у вас под рукой нет бумаги с карандашом — на своем любимом пляже в Варне Алла начертила прямоугольник, конечно же, пером чайки на песке.

Теперь сделайте десять «насечек» для десятков по вертикали и горизонтали, а потом две и три для единиц соответственно. Теперь проведем линию раздела между десятками и единицами. Получилось 4 прямоугольника.

Теперь перемножаем длину и ширину в каждом из прямоугольников между собой:

10 × 10 = 100

2 × 10 = 20

2 × 3 = 6

3 × 10 = 30

Потом складываем все результаты и получаем 156.

Это работает всегда! Фактически Алла предложила геометрическую трактовку раскрытия скобок. Когда мы раскрывали скобки без рисунка, мы разбивали 12 × 13 на те же самые числа:

12 × 13 = (10 + 2) × (10 + 3) = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

Задание: С помощью площадей прямоугольников умножьте 21 на 33. Удачи!

a плюс b в квадрате

Может быть, вы помните (а может, и нет) знаменитую формулу для вычисления (a + b) в квадрате:

a-квадрат-плюс-два-ab-плюс-b-квадрат

Мы написали эту формулу на рисунке. У кого-то она вызовет легкую ностальгию, у кого-то — давно забытое, но знакомое смятение.

Задание: Получите сами формулу для вычисления (a + b)². У нас для этого уже все есть! Вспомните, что (a + b) — это всего лишь число. А квадрат — это число, умноженное на само себя! То есть (a + b)² = (a + b)(a + b). Получив формулу, проверьте ее на числах. Удачи!

Надеемся, вы увидели связь этой формулы с предыдущей. Это в точности то же самое, что (a + b)(a + b), но только скобки одинаковые. Заметим, что когда мы перемножаем букву саму на себя, например, a × a, то знак умножения упускать не принято. На письме aa смотрится как-то некрасиво и неуместно, как крик о помощи или заикание. Принято писать a × a или a². Давайте попробуем применить эту формулу. Вот что получилось:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b.

Что тут можно заметить? Во-первых, a × a — это a², а b × b — это b². Кроме того, ab и ba — это одно и то же, потому что буквы просто обозначают числа, и перемножать их можно в любом порядке. Тогда ab + ba = ab + ab = 2ab. В результате выходит:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b = a² + 2ab + b².

То, что слева, равно тому, что справа, то есть:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Что и требовалось доказать.

Естественно, геометрическая интерпретация через площади по-прежнему в силе. Мы приводим рисунок ниже, но сначала попробуйте выполнить задание сами!

Задание: Объясните формулу (a + b)² = a² + 2ab + b² с помощью площадей. Удачи!

Если у вас получилось выполнить это задание, то можете снять видео и выложить его на «Ютьюбе». Как вы думаете, сколько просмотров оно наберет? Не стоит недооценивать интерес людей к раскрытию скобок. В 2012 году тридцатисекундное видео учителя математики из Индии Кхуршеда Батливалы про (a + b)² взорвало Интернет, собрав более миллиона просмотров! И это всего лишь визуализация того, как раскрыть скобки с помощью площадей.

Давайте попробуем повторить успех Батливалы. Нарисуем горизонтальную линию, состоящую из двух отрезков — a и b.

Так как в формуле мы возводим a и b в квадрат, то и рисуем квадрат — проводим вертикальную линию, также состоящую из отрезков — a и b (помните, что у квадрата все стороны равны?), и достраиваем чертеж до нужной нам фигуры. Площадь такого квадрата равна (a + b)(a + b), или (a + b)².

А теперь разделим квадрат изнутри на 4 части, соединив между собой противоположные стороны.

Из чего состоит эта площадь? a² и b² — это площади внутренних заштрихованных квадратов. Осталось два одинаковых внутренних прямоугольника, у каждого из которых площадь равна ab. Сложим четыре площади вместе и получим a × a + ab + ab + b × b. Узнаете? Это же та же формула, a² + 2ab + b²!

Если вам, как и Алле, непросто раскрывать скобки, то по картинке всегда можно вспомнить формулу или даже вывести ее заново! К этому волшебному квадрату мы еще не раз вернемся. Именно он позволит нам добраться до самых глубоких корней квадратного уравнения и доказать теорему Пифагора.

Ну и наконец, подставим числа. Давайте a примем за 4, а b — за 3. Тогда (4 + 3)² = 7² = 7 × 7 = 49. А по формуле (4 + 3)² = 42 + 2 × 4 × 3 + 32 = 16 + 24 + 9 = 49. Красота!

Игры с умножением

В Интернете можно найти много интересных игр и примеров с умножением чисел. Вот один забавный.

Задание: Возьмите калькулятор, умножьте 481 на 21 и на ваш возраст. Понимаете, как получился результат? Для самых любознательных вопрос посложнее: всегда ли это работает? Удачи!

Конечно, числа 481 и 21 выбраны не случайно. Если их перемножить, то получится 10101. Допустим вам 34 года. Тогда 10101 × 34 = 343434. Это работает, если вам от 10 до 99. Кстати, этот трюк напрямую связан с раскрытием скобок.

Смотрите, мы можем разорвать 10101 на части:

10101 = 10000 + 100 + 1. Перемножим по частям:

10000 × 34 = 340000

100 × 34 = 3400

1 × 34 = 34.

Сложим и получим 343434.

Стихия скобок

Тему раскрытия скобок можно продолжать бесконечно. Если бы мы не ограничились (a + b)², а добавили побольше скобок, например, (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b), то очень быстро столкнулись бы с комбинаторикой, биномом Ньютона, треугольником Паскаля и теорией вероятностей. И предела этому нет…

Наш гуманитарий Алла, находясь под впечатлением от скобок в математике, стояла на черноморском берегу и смотрела на отплывающие от берега судна. Она заметила, что паруса издалека выглядят как скобки, и можно представить, что это числа ходят под парусами: те, что побольше, отплывают на шхунах, поменьше — на утлых лодочках. С берегом расставаться всегда немного грустно. Вот на какие стихи Аллу вдохновила математика:

Мне жалко цифры разрывать,

Они, как лодки от причала,

Не отрываются сначала,

На помощь нужно ветер звать.

И гнутся скобки — столько ветра,

А на борту одно весло.

От круглых чисел словно ветка

Откалывается колесо.

В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.

Где можно учиться по теме #математика

Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.