«Лотереи — для глупых» — так принято думать о тех, кто приобретает лотерейные билеты и надеется на выигрыш. Но на самом деле это математическая игра и участвовать в ней может каждый. В отрывке из книги Джордана Элленберга «Как не ошибаться. Сила математического мышления» вы узнаете о том, как рассчитать вероятность выигрыша и что такое ожидаемая ценность.
Стоит ли играть в лотерею? Благоразумным принято считать ответ «нет». Старый афоризм говорит нам, что лотереи — это «налог на глупость», обеспечивающий правительству доход за счет людей, введенных в заблуждение настолько, что они готовы покупать лотерейные билеты. Если воспринимать лотерею как налог, то можно понять, почему лотереи так популярны среди государственных казначейств. Сколько еще налогов люди готовы выплачивать, стоя в очередях у лотерейных терминалов?
Притягательность лотерей — явление далеко не новое. Эта практика началась еще в XVII столетии в Генуе, где лотерея появилась случайно как следствие избирательной системы. Один раз в шесть месяцев в Генуе избирали двух членов Малого совета. Вместо того чтобы проводить выборы, избрание членов совета осуществлялось посредством жеребьевки, когда из кипы бумажек с именами ста двадцати советников вытягивались две полоски. Вскоре городские любители азартных игр стали заключать пари с высокими ставками на результаты избрания членов совета. Эти пари приобрели такую популярность, что игроков начала раздражать вынужденная необходимость ждать дня выборов, чтобы сыграть в эту притягательную азартную игру. Они быстро поняли: чтобы вытягивать полоски бумаги из кучи таких полосок, в выборах вообще нет необходимости. Имена политиков заменили числами, и в 1700 году в Генуе уже действовала лотерея, которая показалась бы очень знакомой тем, кто играет в современную американскую лотерею Powerball. Игроки пытались угадать пять случайно выпавших номеров, причем чем больше чисел игрок угадывал, тем больше был его выигрыш.
Лотереи быстро распространились по всей Европе, а оттуда попали в Северную Америку. Во время Войны за независимость как континентальный Конгресс, так и правительства штатов организовывали лотереи для финансирования борьбы с британцами. В Гарварде в 1794 и 1810 годах (во времена, когда фонд финансирования университета еще не исчислялся в девятизначных цифрах) были проведены лотереи для сбора средств на строительство двух новых университетских зданий. (Эти здания до сих пор используются в качестве общежитий для первокурсников.)
Не все приветствовали это новшество. Моралисты не без оснований считали, что лотереи равносильны азартным играм. Противником лотерей был также и Адам Смит. В своем труде The Wealth of Nations («Исследование о природе и причинах богатства народов») он писал:
О том, что шансы удачи естественно переоцениваются, мы можем судить по всеобщему успеху лотерей. На свете никогда не было и не будет вполне справедливой и честной лотереи, то есть такой, в которой все выигрыши уравновешивали бы все потери, ибо в таком случае устроитель ее не имел бы никакой выгоды. В государственных лотереях билеты в действительности не стоят той цены, какую уплачивают за них первоначальные подписчики, а между тем они обычно продаются на рынке с надбавкой в 20, 30 и иногда 49%… В лотерее, в которой ни один выигрыш не превышал бы 20 ф., спрос на билеты был бы меньше, хотя бы эта лотерея в других отношениях была гораздо справедливее и честнее, чем обычные государственные лотереи. Чтобы заручиться большими шансами на получение одного из крупных выигрышей, некоторые люди покупают по нескольку билетов, а другие — мелкие доли еще большего количества их. Однако одно из наиболее достоверных математических положений состоит в том, что чем больше билетов вы рискуете приобрести, тем скорее вы окажетесь в проигрыше. рискните на все билеты лотереи, и вы наверняка проиграете, и чем больше число ваших билетов, тем несомненнее ваш проигрыш.
Убедительность высказываний Смита и его достойное восхищения упорство в рассмотрении количественных показателей не должны скрыть от вас тот факт, что его вывод, строго говоря, неверен. Большинство игроков в лотерею сказали бы, что покупка двух лотерейных билетов вместо одного не увеличивает вероятность проигрыша, а в два раза повышает вероятность выигрыша. И были бы правы! В лотерее с простой призовой структурой легко проверить все самостоятельно. Предположим, в лотерее 10 миллионов комбинаций чисел и только один победитель. Стоимость билетов 1 доллар, а приз — 6 миллионов долларов.
Человек, купивший все билеты до единого, потратит 10 миллионов долларов и получит приз в размере 6 миллионов долларов. Другими словами, как и говорил Смит, это явно проигрышная стратегия, которая обойдется игроку в 4 миллиона долларов. Мелкий игрок, купивший всего один билет, находится в более выгодном положении: у него есть как минимум один шанс из 10 миллионов остаться с прибылью!
Но, что если вы купите два билета? В таком случае вероятность проигрыша сокращается, хотя, надо признать, всего с 9999999 из 10 миллионов до 9999998 из 10 миллионов.
Чем больше билетов вы покупаете, тем больше снижается вероятность проигрыша, но только пока вы не купите 6 миллионов билетов
В этом случае вероятность выиграть приз, а значит, остаться при своих, составляет целых 60%, тогда как вероятность проиграть равна всего 40%. Вопреки утверждению Смита, покупка большего количества лотерейных билетов позволит вам снизить вероятность проигрыша. Но если вы купите хотя бы еще один билет, потеря денег неизбежна (хотя о какой именно сумме идет речь, 1 доллар или 4000001 доллар, зависит от того, есть ли среди ваших билетов выигрышный).
Здесь трудно воссоздать ход рассуждений Смита, но вполне возможно, что он стал жертвой заблуждения «все линии являются прямыми», сделав вывод о том, что если покупка всех лотерейных билетов непременно приведет к потере денег, то и покупка большего количества билетов также приведет к повышению вероятности потери денег. Человек, купивший один билет, почти полностью уверен, что потеряет деньги, но знает, что не потеряет много денег. Тот, кто купил 6 миллионов билетов, находится в гораздо более опасном положении. Скорее всего, вам все еще кажется, что оба эти решения не очень разумны. Как говорил Смит, если лотерея — это выигрышное дело для государства, значит, для каждого, кто находится по другую сторону сделки, это наверняка не лучший вариант.
В аргументах Смита против лотерей отсутствует понятие ожидаемой ценности — математический формализм, отображающий ту интуитивную догадку, которую он сам и пытался сформулировать. Вот в чем суть этой концепции. Предположим, у нас есть предмет, имеющий неопределенную денежную стоимость, скажем лотерейный билет:
в 9999999 из 10000000 случаев билет ничего не стоит;
в 1 из 10000000 случаев билет стоит 6 миллионов долларов.
Несмотря на эту неопределенность, нам все же может понадобиться присвоить лотерейному билету определенную ценность. Зачем? Что если какой-то человек предлагает людям заплатить по 1,2 доллара за их билеты? Целесообразно ли пойти на эту сделку и положить в карман 20 центов или лучше придержать билет? Это зависит от того, какую ценность вы присвоили этому билету — больше или меньше 1,2 доллара.
Вот как можно вычислить ожидаемую ценность лотерейного билета. Для каждого возможного результата необходимо умножить вероятность результата на ценность билета в случае получения этого результата. В нашем упрощенном примере существует только два варианта: проигрыш или выигрыш. Следовательно, вы получите такие числа:
9999999/10000000 × 0 долларов = 0;
1/10000000 × 6000000 долларов = 0,60 доллара.
Затем необходимо сложить эти числа:
0 долларов + 0,60 доллара = 0,60 доллара.
Таким образом, ожидаемая ценность вашего лотерейного билета составляет 60 центов. Если какой-то фанат лотерей постучит в вашу дверь и предложит 1,2 доллара за ваш билет, ожидаемая ценность этого билета говорит о том, что вам следует пойти на эту сделку. В действительности ожидаемая ценность билета говорит, что вы вообще не должны были платить за него один доллар!
Ожидаемая ценность — вовсе не та ценность, которую вы ожидаете
Ожидаемая ценность — еще одна математическая концепция, имеющая (подобно значимости) название, которое не совсем верно отражает ее значение. Разумеется, мы не «ожидаем», чтобы лотерейный билет стоил 60 центов; напротив, он стоит либо 10 миллионов долларов, либо ничего, и никаких промежуточных значений.
То же самое происходит и в следующей ситуации. Предположим, я делаю ставку 10 долларов на собаку, которая, по моему мнению, с вероятностью 10% выиграет собачьи бега. Если собака победит, я получу 100 долларов; если собака проиграет, я не получу ничего. В таком случае ожидаемая ценность этого пари составляет:
(10% × 100 долларов) + (90% × 0 долларов) = 10 долларов.
Но я ожидаю совсем не этого. Выигрыш 10 долларов — по сути, даже не один из возможных результатов моего пари, не говоря уже об ожидаемом. Лучше было бы назвать это «средняя ценность», поскольку на самом деле ожидаемая ценность пари представляет собой количественную оценку того, какого результата я мог бы ожидать, если сделал бы много таких ставок на большое количество собак. Предположим, я заключил тысячу таких пари со ставкой 10 долларов. По всей вероятности, я выиграл бы сотню пари (снова закон больших чисел!) и заработал бы по 100 долларов на каждом из них, то есть всего 10000 долларов. Следовательно, тысяча ставок принесет мне прибыль в среднем по 10 долларов на одну ставку. В долгосрочной перспективе можно даже остаться при своих.
Ожидаемая ценность — это отличный способ определить справедливую цену объекта (такого как ставка на собачьих бегах), истинная ценность которого неизвестна. Если я заплачу за каждый билет на бега по 12 долларов, в долгосрочной перспективе я с большой вероятностью потеряю деньги; если мне удастся найти такие билеты по 8 долларов, тогда мне следует купить их как можно больше. Сейчас почти никто не делает ставки на собачьих бегах, но механизм ожидаемой ценности один и тот же, что бы вы ни пытались оценить: билеты на бега, фондовые опционы, лотерейные билеты или страхование жизни.
В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках.
Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.
Иллюстрация: belchonock / Depositphotos.com
Комментарии
Комментировать